Moć beskonačnosti

Činjenicu da parnih brojeva ima isto toliko kao i neparnih, većina će prihvatiti zdravo za gotovo, međutim, ta konstatacija ekvivalentna je konstataciji da parnih brojeva ima isto toliko kao i prirodnih, što na prvi pogled zvuči krajnje zbunjujuće. Naizgled logično je zapažanje da parnih brojeva ima dvostruko manje nego prirodnih (jer poznato je da je svaki drugi prirodan broj paran), ali kao što ćete videti ovo zapažanje je netačno.

Većini matematika nije toliko bliska, te ću se zbog toga potruditi da tekst bude razumljiv širem krugu čitalaca. Ideja mi je da vam opišem dokaz da na jednom odsečku neke prave postoji isto toliko tačaka kao u celom prostoru. Tačnije, da se ceo dvodimenzionalni, trodimenzionalni pa i višedimenzionalni prostor može spakovati u interval jedne prave i zatim na jedinstven način raspakovati. Nadam se da sam vas ovom rečenicom zainteresovao da ne odustajete od ovog teksta i sebi približite tu čudesnu moć beskonačnosti.

Nakratko ću se vratiti na polje razumljivo i detetu - radi se o naivnoj teoriji skupova. Postoje bar dva jednostavna načina da se utvrdi istobrojnost dva konačna skupa. Neka su to na primer, skup stolica u jednoj učionici i skup učenika. Prvi način je da prebrojim učenike, zatim prebrojim stolice i ukoliko su ta dva broja jednaka, skupovi su istobrojni. Drugi način je da pustim učenike da zauzmu mesta u učionici pri čemu svaki učenik može zauzeti samo jednu stolicu. Ukoliko nema slobodnih stolica i nema učenika koji stoje, skupovi su istobrojni. Složićete se da je drugi način efikasniji, pogotovu ukoliko su skupovi veliki. Na taj način definisano je jedno preslikavanje između dva skupa učenik-stolica. Ukoliko su skupovi istobrojni ovo preslikavanje biće bijektivno („1-1“ i „na“) pa samim tim i inverzno. Dakle, ukoliko postoji bar jedno bijektivno preslikavanje između dva skupa, ta dva skupa imaju isti broj elemenata.

Ključna reč u prethodnom pasusu bila je "konačan". Skupove sa malo elemenata čovek može prebrojati i uporediti jednim pogledom. Kada broj elemenata poraste, brojanje neće biti problem, međutim, kada su dva skupa čija se istobrojnost ispituje, zaista velika, obzirom na drugi način utvrđivanja istobrojnosti, brojanje je veoma neefikasno. Dalje, ukoliko se ne radi o konačnim skupovima brojanje neće biti ni od kakve pomoći. Ako bi neko hteo da utvrdi da li parnih brojeva ima isto toliko kao i neparnih, brojanje samo parnih brojeva trajalo bi večno. Iz tog razloga je konstrukcija bijektivne funkcije jedino rešenje. Neka je na primer funkcija f(x) = x+1, za svako x iz skupa prirodnih brojeva. Već na prvi pogled se vidi da ova funkcija ima inverznu funkciju g(x)=x-1 ( f(g(x))=f(x-1)=x-1+1=x ) pa je samim tim f(x) bijekcija. Kako funkcija f(x) parne brojeve preslikava u neparne time je potvrdjena istobrojnost skupa parnih i skupa neparnih brojeva. Da je skup parnih brojeva istobrojan sa skupom prirodnih brojeva potvrdiće funkcija f(x)=2x koja će svaki prirodan broj x preslikati u jedan paran broj (inverz ove funkcije je g(x)=x/2 (jer f(g(x))=f(x/2)=2x/2=x )/

Beskonačni skupovi prirodnih, parnih, neparnih pa čak i racionalnih brojeva su nabrojivi skupovi. Brojanjem se ne može utvrditi njihov broj, ali ti skupovi imaju osobinu da se njihovi elementi mogu nizati jedan za drugim. Za prirodne brojeve to je npr niz 1,2,3,... za parne 2,4,6,..., neparne 1,3,5,.... dok je kod racionalnih brojeva taj niz uređen na nešto drugačiji način (Kantorovim dijagonalnim postupkom). Skup realnih brojeva nažalost nema svojstvo nabrojivosti, ali se i njegovi podskupovi mogu upoređivati i meriti na način opisan za prebrojive skupove. Najjednostavniji model skupa realnih brojeva je prava gde brojevi predstavljaju njene tačke. Ukoliko ste prihvatili da parnih brojeva ima isto koliko i prirodnih onda sigurno nećete imati ništa protiv da odsečak realne prave na intervalu (0,1) ima isto toliko elemenata (tačaka) kao i na intervalu (0,2). To se jednostavno pokazuje konstrukcijom linearne funkcije f(x)=2x za koju je već pokazano da je bijekcija (želim samo da napomenem da treba razlikovati broj tačaka od dužine, naravno da je odsečak (0,2) duži od odsečka (0,1) ali to nema nikakve veze sa brojem tačaka). Analogno podskup (0,1) može se uporediti sa bilo kojim intervalom na realnoj pravoj pa čak i ako on nije ograničen. Na primer, jednostavno se pokazuje da je odsečak (-pi/2,pi/2) istobrojan sa celim skupom realnih brojeva, funkcija koja je bijekcija je arctan (arkus tanges) preslikava upravo skup realnih brojeva na skup (-pi/2,pi/2), bijekcija je po svojoj definiciji jer je ona inverz tangensa na datom intervalu, kako se taj interval može preslikati na bilo koji drugi interval pa i na (0,1), može se smatrati da je broj tačaka u intervalu (0,1) jednak broju tačaka na celoj beskonačno dugačkoj realnoj pravoj.

Dimenzija se i dalje može povećavati, ukoliko se na primer nalazimo u ravni i izaberemo neki reper (Dekartov koordinatni sistem) svaku tačku te ravni možemo prikazati kao uređen par realnih brojeva pa se na prethodno opisan način može pokazati da na primer kvadrat (0,1)x(0,1) ima isto toliko tačaka kao i bilo koji drugi kvadrat, a pomoću funkcija sličnim arkus tangesu može se pokazati da proizvoljni kvadrat ima isti broj tačaka kao i cela ravan. Slično se problem prenosi na trodimenzionalan pa i višedimenzionalan prostor.

Zanimljivo je da je skup tačaka na realnoj pravoj (na primer interval (0,1)) istobrojan sa bilo kojim skupom u ravni, pa samim tim i sa celom ravni. Pokazaću vam ideju dokaza na koji me je pre nekoliko godina uputila Ana Kozomara posle više meseci mog uzaludnog pokušavanja da konstrujišem analitičku bijektivnu funkciju koja bi posvedočila o istobrojnosti ovih skupova. Uporediću duž (0,1) kao deo realne prave i kvadrat (0,1)x(0,1) kao deo realne ravni.

Konstrukcija jedne bijekcije mogla bi glasiti ovako: Svaka tačka u intervalu (0,1) na realnoj pravoj je u decimalnom zapisu data sa 0,a1a2a3a4a5.... gde su ai cifre između 0 i 9, takođe svaka tačka na otvorenom kvadratu (0,1)x(0,1) može se prikazati koordinatama (0,x1x2x3x4x5...., 0,y1y2y3y4y5....) pri čemu su xi i yi cifre između 0 i 9. neka je a1=x1, a2=y1, a3=x2, a4=y2, … a2n+1=xn, a2n=yn, ... Ovako definisanom funkcijom data je jedna bijekcija jer ova funkcija ima jednistven inverz, naime za svaku tačku na pravoj 0,a1a2a3a4a5.... se jedinstveno može konstruisati tačka u kvadratu (0,x1x2x3x4x5...., 0,y1y2y3y4y5....) a važi i obrnuto. Kako otvoren kvadrat (0,1)x(0,1) istobrojan sa celom ravni sledi da je broj tačaka na odsečku realne prave (0,1) jednak broju tačaka na celoj ravni, samim tim i sa brojem tačaka u trodimenzionalnom pa i u višedimenzionalnom prostoru.

Napomenuću samo da broj elementa nekog nabrojivog beskonačnog skupa nije jednak broju elementa nekog nenabrojivog beskonačnog skupa, na taj način se u matematiku uvode različiti tipovi beskonačnosti. Poznato je da je skup realnih brojeva brojniji od skupa prirodnih brojeva, ali nam nije poznato da li postoji nešto između.